Ley de propagación de Incertidumbre

La Ley de Propagación de Incertidumbre es el pilar fundamental de la metrología moderna, basada en la Guía para la Expresión de Incertidumbre de Medida (GUM). Se utiliza para determinar cómo las dudas (incertidumbres) de las mediciones de entrada afectan el resultado final de una magnitud calculada.

Empecemos por saber ¿Qué es la "Incertidumbre"?

En la vida real, nada se mide con perfección absoluta, si mides una mesa con una regla, podrías decir que mide 1 metro, pero en realidad mide 1 metro ± 1 milímetro. Ese "± 1 milímetro" es la incertidumbre: es el margen de duda razonable que tenemos sobre nuestra medición y aun que en la GUM (Guide to the expression of uncertainty in measurements) la definición es mas tecnica: "Parámetro no negativo que caracteriza la dispersión de los valores atribuidos a un mensurando, a partir de la información que se utiliza" coloquialmente podemos decir que es la duda que se tiene en la medición realizada o es una medida de la calidad con que realiza la medición, mientas mas pequeña sea la incertidumbre, con mas calidad será la medición (mejor metodo, mejores condiciones y mejor equipo de medición). si deseas saber mas sobre incertidumbre visita nuestro otro articulo con un ejemplo practico aqui.

¿Qué es el mensurando?

Según el VIM (Vocabulario Internacional de Metrología), un mensurando es: "La magnitud que se desea medir". Parece una definición simple, pero la palabra clave es "se desea". El mensurando es el concepto ideal, la cantidad específica que queremos conocer en condiciones perfectas. En una calibracion normalmente se desea medir el error de indicación o el factor de corrección pero en una medida normal sin comparación, comúnmente lo que se desea medir es una magnitud como la longitud, el área, la densidad, etc. y aqui surge un problema:

Casi nunca medimos algo directamente y ya, normalmente usamos esos datos para calcular otra cosa.

Ejemplo: Quieres saber el área de un terreno mides el Largo y el Ancho.
Tu cinta métrica tiene duda en el Largo y duda en el Ancho ya que hiciste dos mediciones.
¿Cuál es la incertidumbre (duda) del área total? No puedes simplemente sumar las dudas de los lados, porque el área es una multiplicación. Aquí es donde entra la Ley de Propagación.

Para entender cómo se propaga la incertidumbre, necesitamos conocer tres conceptos clave:

1. El Modelo Matemático

Es la fórmula que describe el comportamiento de tu medicion. Por ejemplo: Velocidad = Distancia / Tiempo. Si la fórmula cambia, la forma en que la incertidumbre se propaga tambien cambia.

2. Los Coeficientes de Sensibilidad

Es una herramienta que mide la relación de "causa y efecto" entre las partes de un sistema y su resultado final, en pocas palabras nos dice cuanto es afectado el resultado (mensurando) por cada variable de influencia en el modelo matemático. El coeficiente de sensibilidad indica cuánto cambia la salida si una de las entradas varía ligeramente, manteniendo las demás constantes.

Matemáticamente, es la derivada parcial de la función respecto a esa variable:

3. La Combinación

En el mundo de la incertidumbre, las dudas no se suman algebraicamente (1+1=2). Se suman usando el Teorema de Pitágoras (la raíz de la suma de los cuadrados). ¿Por qué? Porque las dudas pueden ser hacia arriba (+) o hacia abajo (-), y al elevarlas al cuadrado nos aseguramos de que siempre sumen incertidumbre al total, nunca que la resten. Cada una de esas incertidumbres se le conoce como incertidumbre asociada y debe haber una por cada variable en tu modelo matemático.

Pasos para la Evaluación de Incertidumbre

Para que un presupuesto de incertidumbre sea técnicamente válido, debe seguir esta secuencia:

Análisis de Fuentes: Identificar qué afecta a cada variable de entrada (Efectos sistemáticos, aleatorios, resolución, deriva, etc.).
Cuantificación (Tipo A y Tipo B):
- Tipo A: Basada en estadística (desviación estándar de repetibilidad).
- Tipo B: Basada en información externa (certificados de calibración, manuales, juicio técnico, etc.).
Cálculo de Incertidumbres Estándar (u): Llevar todas las fuentes a una desviación estándar común o segun su distribución por ejemplo para distribución uniforme debes dividir la resolución entre 2*raíz(3) o raíz(12)).
Combinación: Aplicar la ley de propagacion de incertidumbres (la primer fórmula).
Expandida (U): Multiplicar por el factor de cobertura k (usualmente k=2 para un 95.45% de confianza).

si necesitas mas informacion sobre esto da click aqui.

Ejemplo practico:

Imagina que mides el largo (L) y el ancho (A) de una placa para obtener el área (S = L * A).

Modelo: S = L * A
Coeficientes de sensibilidad:

Aplicando la ley de propagacion de incertidumbre queda de la siguiente manera:

Donde uc(S) es la incertidumbre combinada del área.

A y L son los coeficientes de sensibilidad que en este caso son Largo y Ancho (resultado de las derivadas parciales).

uL y uA son las incertidumbres asociadas a cada medicion (resolucion, repetibilidad, calibración, etc..).

Ejemplo resuelto con números

Mides una placa: el largo L = 250.00 mm con un vernier y el ancho A = 120.00 mm con otro vernier (cada uno con su certificado). El área es S = L × A = 30 000 mm². Los coeficientes de sensibilidad salen de derivar el modelo: cL = ∂S/∂L = A = 120 mm y cA = ∂S/∂A = L = 250 mm.

Fuentes de incertidumbre (las mismas que capturarías en la calculadora de abajo):

• Calibración de cada vernier: U = 0.02 mm con k = 2 → u = 0.010 mm (divisor personalizado = 2).

• Resolución de 0.01 mm: distribución uniforme (2√3) → u = 0.0029 mm.

• Repetibilidad (desviación estándar de la media): largo u = 0.005 mm, ancho u = 0.004 mm (normal, divisor 1).

Cada contribución es (c · u)². Largo: 1.44 + 0.12 + 0.36. Ancho: 6.25 + 0.52 + 1.00. Suma = 9.69 mm⁴.

uc(S) = √9.69 = 3.11 mm² y U = 2 × 3.11 = 6.2 mm² (k = 2, ≈ 95 %). Resultado: S = (30 000 ± 6) mm².

El ancho pesa más aunque se midió igual de bien: su coeficiente de sensibilidad (250) es mayor que el del largo (120). Para mejorar el resultado conviene atacar primero la contribución más grande, que aquí es la calibración del vernier del ancho.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un coeficiente de sensibilidad?

Es cuánto cambia el resultado cuando una entrada cambia una unidad; matemáticamente, la derivada parcial del modelo respecto de esa entrada. Si el modelo es una suma o resta, todos valen 1.

¿Qué divisor uso para cada fuente?

Certificado de calibración: U/k (normalmente k = 2). Resolución de un instrumento digital: a/(2√3). Límites ± a sin más información (tolerancia, especificación del fabricante): a/√3 (rectangular). Si los valores cercanos al centro son más probables: a/√6 (triangular). La repetibilidad (s/√n) ya es una incertidumbre estándar: divisor 1.

¿Por qué se multiplica por k = 2?

La incertidumbre combinada uc equivale a una desviación estándar (≈ 68 %). Con k = 2 la incertidumbre expandida U cubre aproximadamente el 95 % de los valores razonables, que es lo que suelen reportar los certificados de calibración.

¿Y si dos entradas están correlacionadas?

La fórmula de la calculadora supone entradas independientes. Si dos entradas comparten una fuente (por ejemplo, el mismo patrón o el mismo instrumento), hay que agregar el término de covarianza de la GUM, o tratar esa fuente común como una sola entrada.

¿Cuándo no conviene la ley de propagación?

Cuando el modelo es muy no lineal alrededor del valor medido o una sola contribución domina con una distribución no normal. En esos casos la GUM recomienda el método de Monte Carlo (Suplemento 1 de la GUM).

Si requieres aplicar el calculo te dejamos una calculadora de la ley de propagacion de incertidumbre, considerando lo siguiente: